第163夜 以有限为无限（2 / 2）

一个球面可以用两个圆盘来表示，沿着圆盘的边这两个圆盘平滑地连接在一起。南半球的居民在某种意义上被北半球“包围”，因为无论他想从哪个方向离开他所在的半球，最终都会到达另一个半球。反过来也是一样：每个半球都包围另一个半球，也被另一个半球包围。

三维球面也可用相似的方式来表示，但要附加一个维度：两个球沿表面完全黏合在一起。离开一个球面，就会进入另一个球面，正如我们离开了代表地球的一个圆盘就会进入另外一个。每个球面都包围也被另一个球面包围。

爱因斯坦的想法是，空间可以是个三维球面：体积有限（等于两个球体的体积之和）但无界。三维球面这一解决办法是爱因斯坦在1917年为解决宇宙边界问题撰写的文章中提出的。这篇文章开创了研究最大尺度的整个可见宇宙的现代宇宙学。宇宙膨胀的发现、大爆炸理论、宇宙起源问题以及许多其他发现都来源于此。

关于爱因斯坦的三维球面，我还观察到一件事。无论看起来多么难以置信，同样的理念早已由另一位来自完全不同文化体系的天才构思过：意大利最伟大的诗人，但丁·阿利吉耶里（DanteAlighieri）。在他的伟大诗篇《神曲》的第三篇天堂篇中，但丁展现了中世纪的宏大视野，仿造亚里士多德的世界，地球在中心，被天球包围。

但丁在他的爱人贝雅特丽齐（Beatrice）的陪伴下，在一次奇妙的幻觉之旅中升入了最外层的天球。他注视着下面的宇宙，旋转的天球和非常遥远的位于天球中心的地球。然后他向更高的地方望去——他看到了什么呢？他看到一个被巨大的天使圈环即另一个巨大球面包围的光点，用他的话来说就是“包围也同时被我们的宇宙包围”。这是《天堂篇》第27篇中的诗句：“宇宙的这一部分包围着前一部分，就像前一部分包围着其他部分。”在下一篇中也提到：“似乎被它所包围的东西包围”。光点和天使的圈环包围着宇宙，与此同时也被宇宙包围。这正是在描述三维球面！

但丁怎么会有如此现代化的观点呢？我认为首先是因为这位意大利最杰出诗人的绝顶智慧，这种智慧是《天堂篇》如此令人着迷的原因之一。其次也是因为但丁的写作时间比较早，是在牛顿让人们相信宇宙的无限空间是欧式几何的平直空间之前。但丁没有像我们那样由于学习牛顿物理学而带来直觉上的局限。

但丁的科学素养主要受益于他的导师的教导。他的导师布鲁内托·拉蒂尼（BrunettoLatini）给我们留下了一本短小精悍的著作《珍宝之书》，这本书类似于中世纪知识的百科全书，用古法语和意大利文写成。在《珍宝之书》中，布鲁内托详细解释了地球是圆的这一事实。但让现代读者感到好奇的是，他是用“内部”几何学而非“外部”几何学来解释的。也就是说，他并没有写“地球像个橘子”，就像地球从外面看起来那样，而是这样写道：“两个骑士如果以相反的方向跑得足够远的话，最终会在另一端相遇。”以及“一个人如果一直向前走，中途不被大海阻挡的话，他最终会回到出发点。”

换句话说，他采取了一种内部的而非外部的视角：即在地球上行走的人的视角，而非从远处看地球的人的视角。乍看起来，用这种方式解释地球是球体似乎毫无意义又复杂难懂。布鲁内托为什么不直接说地球像个橘子呢？

请思考：假如有只蚂蚁在橘子上爬，到某个点时它会发现自己上下颠倒，必须用腿上的小吸盘吸住橘子，以免掉下去。然而地球上的旅行者从来不会发现自己上下颠倒，腿上也无须那样的吸盘。布鲁内托的描述并没有看起来那么古怪。现在来想一下。如果有个人从老师那儿学到，我们星球表面的形状是这样的：一直沿直线走，最终会回到出发点，那么进行下一步也许不会太困难，可以想象下整个宇宙的形状也是如此：一直沿直线飞，我们最终会回到出发点。

三维球面就是这样的空间：两个长翅膀的骑士朝相反的方向飞走，最终会在另一端相遇。用术语来说，布鲁内托在《珍宝之书》中提出的地球几何的描述是从内在几何学的角度（从内部看），而非外在几何学（从外部看），而这恰恰是把球面概念从二维推广到三维时最适合的描述方式。描述三维球面的最佳方式不是尝试“从外部看”，而是去描述在内部运动时会发生什么。

高斯提出的描绘曲面的方法，以及由黎曼推广的描绘三维或更高维空间曲率的方法，实际上都是布鲁内托·拉蒂尼的方式。也就是说，这个想法不是要以“从外面看”的视角来描绘弯曲的空间，说明它在外部空间如何弯曲，而是要从一个在这个空间内部运动的人的视角来描述。

例如，布鲁内托观察到，在普通球体的球面上，一切沿“直线”的运动在走过相同的距离（赤道的长度）后都会回到起点。三维球面就是具有同样属性的三维空间。

爱因斯坦的时空并不是外部空间意义上的弯曲，它指的是内部几何上的弯曲，换句话说，从内部观察到的两点之间的距离，不遵循平直空间的几何学。在这个空间里，毕达哥拉斯定理并不成立，正如毕达哥拉斯定理在地球表面不成立一样。

有一种方法能让我们从内部理解空间曲率，无须从外部去看，这对后面要讲的内容很重要。想象你处在北极点，一直向南走到赤道，随身携带一个指向前方的箭头。一到赤道，你就向左转，但不改变箭头的方向。箭头仍然指向南，现在位于你的右手边。沿着赤道向东前进一些，再转向朝北——仍然不改变箭头的方向，现在指向你身后。当你又到达北极点后，就完成了一个闭合回路——术语称为“圈”——箭头不再指向你出发时的方向。在完成回路的过程中，通过箭头改变的角度可以测算出曲率。

后面我会在空间中绘制一个圈，再来谈这种测量曲率的方法。这就是使圈量子引力得名的“圈”。但丁在1301年离开佛罗伦萨，当时洗礼堂圆屋顶上的镶嵌图案快要完工。描绘地狱的镶嵌图也许在中世纪的人眼里很恐怖，可对但丁来说一直是灵感的源泉。