第163夜 以有限为无限（1 / 2）

在继续讲物理之前，我想先暂停一下，谈一谈数学。爱因斯坦不是伟大的数学家。他本人也说过，他在数学上困难重重。1943年，一个叫芭芭拉的九岁小女孩给他写信，询问她在数学上遇到的困难，爱因斯坦如此回复道：“不必担心数学上的困难，我向你保证，我自己的问题甚至更严重。”

这听起来像个笑话，但爱因斯坦并没有开玩笑。他在数学上需要帮助：他需要学生和朋友，比如马塞尔·格罗斯曼（MarcelGros**an），把数学耐心细致地解释给他听。但他作为物理学家的直觉令人惊叹。

在完成理论建构的最后一年，爱因斯坦发现他在和最伟大的数学家之一戴维·希尔伯特（DavidHilbert）竞争。爱因斯坦在哥廷根发表了一次演讲，希尔伯特也参加了。希尔伯特立刻意识到爱因斯坦正要做出重大的发现，他领悟了其中的要点，尝试超越爱因斯坦，抢先一步写出爱因斯坦正在缓慢构建的新理论的方程。

两位巨人向终点线的冲刺让人万分紧张，只要几天时间就能最后见分晓。爱因斯坦在柏林几乎每周都要发表一次公开演讲，每次都会提出一个不同的方程，生怕希尔伯特在他之前找到答案，而这个方程每次都不对。最终在千钧一发之际——只领先希尔伯特一点点——爱因斯坦找到了正确的方程，赢得了比赛。

希尔伯特是个绅士，即使他在同一时间写出了非常类似的方程，他也从未质疑过爱因斯坦的胜利。事实上，他留下了一句非常优美的话，精准地描述了爱因斯坦在数学上遇到的困难，也许这也是在物理和数学之间普遍存在的困难。阐述理论所必需的数学是四维几何，希尔伯特写道：大街上的任何一个年轻人都比爱因斯坦更懂四维几何，然而是爱因斯坦完成了这项工作。

为何是他呢？因为爱因斯坦具备一种独特的能力，他可以想象世界是如何构造的，在头脑里“看见”它，然后方程随之而来；方程是落实他对实在的洞见的语言。对爱因斯坦而言，广义相对论并不是一堆方程，它是被艰难转述为方程的关于世界的精神图景。这一理论背后的理念是时空会弯曲。

如果时空只有两个维度，我们生活在平面上，那就很容易想象“物理空间弯曲”意味着什么。那表示我们所生活的物理空间并不像平面桌，而是像山峰和山谷的表面。但我们所在的世界不止有两个维度，而是三个。实际上当把时间加进来的时候，是四个维度。

想象弯曲的四维空间会更复杂，因为在日常经验中，我们无法体验到时空可以弯曲的“更大空间”。但爱因斯坦可以毫不费力地想象出我们栖居的这个可被压扁、拉伸、扭曲的软体宇宙。多亏了这种清晰的想象力，爱因斯坦才率先完成了这个理论。

最终，希尔伯特和爱因斯坦之间的关系还是出现了一定程度的紧张。爱因斯坦发表正确方程的前几天，希尔伯特给一个期刊寄了一篇文章，表明他也十分接近同样的答案——甚至到了今天，科学史家试图评价两位科学巨人各自的贡献时，都会有所迟疑。但到了某一刻，他们之间的紧张反而缓和了。爱因斯坦害怕比他更资深、更有权威的希尔伯特会把构造理论的功劳更多地归功于自己，但希尔伯特从未宣称率先发现了广义相对论——在科学领域中，关于优先权的纷争时常会愈演愈烈——这二人是智慧真正完美的体现，使紧张的气氛烟消云散。爱因斯坦给希尔伯特写了一封绝妙的信，总结了他们共同做法的重要意义：

我们之间已经有了一点不愉快，起因我不愿去分析。我一直在同它所引起的痛苦做斗争，现在完全胜利了。我又怀着往日的友好想您，希望您也能这样对我。两个真正的朋友，能在一定程度上从卑鄙的世俗中解脱出来，却不能相互欣赏，那真是太遗憾了。

宇宙发表方程两年后，爱因斯坦决定用它来描述整个宇宙空间，来考察宇宙的最大尺度，由此他有了另一个惊人的想法。数千年来，人类一直反躬自问，宇宙究竟是有限的还是无限的？两种假说都遇到了棘手的难题。无限的宇宙看起来并不合理：举例来说，如果宇宙是无限的，在某个地方肯定会存在一个与你一样的读者，正在读着同一本书（无限极其浩瀚，原子没有足够多的组合方式使物体全都有所差异）。

实际上，肯定不止一个，而会有无穷多的与你一模一样的读者……但如果宇宙存在极限，那边界是什么呢？如果另一边空无一物，那么边界还有什么意义呢？

公元前6世纪，塔兰托的毕达哥拉斯学派哲学家阿尔库塔斯（Archytas）就写道：如果我发现自己身处最遥远的天空，那里有不变的星辰，那么我能否伸展手臂或伸出一根手杖，抵达天空以外呢？如果做不到的话是很荒谬的；但如果做得到，那么外面就存在，要么是物质，要么是空间。以这种方式人可以抵达更远，直到尽头，反复问着同样的问题，是否总会有空间可以伸展手杖。

这两个荒谬的选择——无限空间的荒谬，与宇宙存在固定边界的荒谬——看起来都不合理。但爱因斯坦找到了第三条路：宇宙可以是有限的，与此同时没有边界。这是如何办到的呢？就如地球表面，它不是无限的，但也没有边界。

只要东西可以弯曲，这就会很自然地出现：地球表面就是弯曲的。在广义相对论中，三维空间当然也可以弯曲，因而我们的宇宙可以有限但无界。在地球表面，如果我沿直线一直走，并不会永无止境地前进下去，最终我会回到出发点。宇宙的构造也是同样的方式：如果我乘坐宇宙飞船始终向同一个方向行进，我会环绕宇宙一圈，最终返回地球。像这样有限但无界的三维空间，被称作三维球面。

要理解三维球面的几何，就要先回到普通的球面；皮球或地球的表面。为了表示飞机上看到的地球表面，我们可以把平时画的大陆画成两个圆盘。