第108夜 比例和分形（二）（1 / 2）

这一向实际长度值的汇聚看上去很明显，数千年来一直没有人质疑，直至1950年理查森偶然发现了边界线和海岸线不断延长的秘密。

现在，让我们想象一下按照上述标准程序测量两个邻国间边界线的长度或一国海岸线的长度。

为了得到粗略的估值，我们开始或许会端到端地使用100英里的分段，并覆盖整个边界线的长度。

假设我们发现按照这一精度，边界线近似为12个分段，其长度因此大约为1200英里。

为了得到更加精确的测量结果，我们可能会使用10英里的分段来预估边界线长度。

根据起居室例子中阐释的一般测量法则，我们或许会发现大约有124个分段，进而得到更加精确的1240英里的估值。

将精确度提高到1英里，我们会得到更加准确的数字，或许会发现1243个分段，即1243英里。我们可以通过越来越高的精度，继续这一过程，直至最终获得所需的精确数字。

然而，令理查森吃惊的是，当他在详细的地图上用游标卡尺重复这一标准程序时，情况并非如此。

事实上，他发现，精度越高，准确度越高，边界线长度就越长，而不会汇聚到某个特定的数值！

与起居室的长度不同的是，边界线和海岸线的长度会持续变长，而不会集中到某个固定数值，这违反了数千年来基本的测量法则。

同样令人吃惊的是，理查森发现，地图上测量的长度系统性地递增。

当他用对数比例绘制不同边界线和海岸线长度及所使用的测量精度时，就会出现一条我们曾在其他许多地方见到过的指向幂律规模法则的直线。

这太奇怪了，它表明，与传统信条相反的是，这些长度似乎依赖用于测量的单元的比例，而且从这个意义上来说，这并不是被测量对象的客观属性。

那么，究竟是怎么回事呢？稍微思考一下，你很快就会意识到发生了什么。

与你的起居室不同的是，大多数边界线和海岸线并不是直线，而是蜿蜒的线，它们要么遵循当地的地理环境，要么就是由政治、文化或历史原因随意决定的。

如果你测量时在海岸线或边界线的两点之间放置长度为100英里的直尺，就像实际测绘中所做的那样，你就明显会错失两点之间所有的蜿蜒和摆动。

然而，如果你转而使用10英里长的尺子，你就会对在大于10英里的尺子下错失的那些蜿蜒和摆动感到敏感。

这一更高的分辨率将会发现那些细节，跟随蜿蜒之处，由此得出的预测值肯定要大于使用粗粒度的100英里直尺时获得的数据。

同样，使用10英里的尺子将难以发现在那些小于10英里的尺子下的蜿蜒和摆动，但如果我们将分辨率提高至1英里，这些蜿蜒和摆动就会被包括进最终的测量数据中了，长度也将会进一步增加。

因此，对于像理查森研究的带有许多蜿蜒和摆动的边界线与海岸线，我们可以很容易理解，随着分辨率的提高，它们的测量长度如何持续增长。

由于这一增长遵循简单的幂律规模法则，这些边界事实上是自相似的分形。

换句话说，一种长度尺子下的蜿蜒和摆动是另一种长度尺子下的蜿蜒和摆动按比例缩放的版本。

因此，当你在看到一条小溪流岸边的侵蚀看上去就像规模更大的河流岸边侵蚀按比例缩小的版本，甚至像大峡谷的迷你版本，并为此而感到惊讶时，你并非沉溺于幻想之中，它事实上的确就是如此。

利用不同精度测量英国海岸线的长度这实在令人惊叹。我们再一次发现，当用粗粒度比例滤镜观察时，在自然界令人畏惧的复杂性的背后，潜藏着惊人的简单性、规律性和一致性。

尽管理查森在研究边界线和海岸线时发现了这一奇特的、革命性的非直观行为，并理解它们的来源，但他并没有完全意识到其非凡的普遍性和深远的影响力。

这一更深刻的洞见落在了曼德尔布罗的身上。理查森的发现几乎为整个科学界所忽视。

这并不太令人感到惊讶，因为它是在一本相对晦涩的期刊上发表的，而且掩藏在了他对于战争起因的实证研究之中。

他发表于1961年的论文也采用了非常晦涩的题目：“关于接近的问题：致命争吵统计数据附录”。

即便在行家看来，这个题目也未能透露出文章的内容是什么。谁又能知道这即将宣告具有重大意义的范式转换呢？

1967年，曼德尔布罗在著名的期刊《科学》上发表了一篇论文，题目清晰易懂：“英国海岸线有多长？数据自相似性和分形维数”。

通过发展理查森的发现，并概括其观点，理查森的工作得见天日。后来被称为“分形”的褶皱是由理查森的对数表中的直线的斜率决定的，斜率越大，曲线的褶皱越多（自然界中同一事物基本存在这样的规律，不只是每个国家的边境曲折程度，还有冰晶、雪花、河流、山脉、生物等，除非是人为制造的东西会不遵循这个规律）。

这些斜率是长度与精度相关的幂指数，类似代谢率与生物体体重相关的指数3/4。

对像圆这样十分平坦的传统曲线而言，斜率或指数为零，因为它的长度不会随着精度的提高而改变，而是会汇聚到一个固定的数值，正如起居室的例子一样。

然而，对崎岖不平、有褶皱的海岸线而言，斜率并不为零。

例如，对英国西海岸线而言，斜率为0.25；对挪威那样有着峡湾和多层次海湾的褶皱更多的海岸线而言，斜率为极大的0.52。

另外，理查森发现，南非海岸线与其他任何海岸线都不相同，斜率只有0.02，十分接**坦的曲线。至于西班牙和葡萄牙之间的边界线，之前出入很大的数据曾激发了理查森的兴趣，他发现其斜率为0.18，海岸线和边界线的分形利用不同精度测量海岸线的长度（例子中的英国）。

随着精度的变化，长度按照图中的幂律系统性增长。斜线给出了海岸线的分形维数，弯曲越多，斜线越陡峭。

为了理解这些数字的含义，想象一下，将测量的精度提高至原来的两倍，英国西海岸线的测量长度将会增加约25%，挪威海岸线的测量长度将会增加约50%。这是一个很大的差别，此前则完全被忽略，直至理查森于70年前偶然发现。

因此，若想要让测量的过程有意义，就必须知道精度很重要，它是整个过程中必不可少的一部分。要点很明确。

通常而言，如果不阐明用于测量的尺子的精度，引用测量数值就是毫无意义的。

从原则上来说，如果不给出测量的单位，只是说长度为543、27或1.289176，是毫无意义的。正如我们要知道长度单位是英里、厘米还是埃一样，我们也需要知道所使用的精度。

在自然界中，几乎没有什么东西是平缓的——大多数事物都是有褶皱的、不规则的、细圆齿状的，通常都以一种自相似的形式存在。