第107夜 比例和分形（一）（2 / 2）

现在，网络的体积便是其所有血管或分支的体积的总和，可以通过它们的长度和半径计算出来，由此我们便将内部网络的自相似性与体形大小联系在一起。

这是长度的立方根规模法则和半径的平方根规模法则之间的数学关系，受到血液体积的线性缩放和终端单元恒定性的约束，由此产生了1/4次幂异速生长指数。

自然选择利用分形网络的数学奇迹，优化了其能量分配，让生物体就像在四维空间而不是标准的三维空间内运转。

从这个意义上说，普遍存在的数字4其实应该是3+1。

一般来说，那个1是空间维度。如果像我那些信奉弦理论的朋友所说的那样，我们生活在11维度的宇宙中，神奇数字就应该是11+1=12，我们讨论的就应该是1/12次幂规模法则的普遍性，而非1/4次幂规模法则。

分形：神秘的边界延长。

数学家很早就认识到，在自古以来构成数学和物理学基础的经典欧几里得几何的规范边界之外还有几何形状。

我们许多人曾经痛并快乐地学习的传统知识框架认为，所有的线和面都是光滑流畅的。

产生中断和褶皱概念（已经成为现代分形概念的一部分）的新奇观念被数学家从严格数学中延伸出来，但在真实世界中并没有被普遍认为起着重要作用。

法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗（BenoitMandelbrot）提出了重要的洞见，褶皱、中断、粗糙和自相似性，即分形，事实上是我们生活的复杂世界的普遍特点。

回想起来，这一洞见在2000多年的时间里与伟大的数学家、物理学家和哲学家失之交臂，这实在令人吃惊。

与许多伟大的进步一样，曼德尔布罗的洞见现在看起来“十分明显”，令人无法相信他的结论未能在此前数百年出现。

毕竟很长一段时间以来，“自然哲学”一直是人类智力劳动的重要领域，几乎所有人都熟悉西蓝花、血管网络、小溪、河流和山脉，这些现在都被认为是分形。

然而，几乎没有人思考过它们的结构和组织的普遍规律，也没有用数学语言来对它们进行描述。

或许，就像更重的物体下降速度更快这样的亚里士多德式的错误假设一样，根植于欧几里得几何的柏拉图式的平滑理想状态在我们的灵魂深处根深蒂固，我们必须要等待很长时间，等到某个人真正检验其是否属实。

用于描述自相似性及其内在递归比例变化的数学与我们在前几章中谈到的幂律规模法则相同。

换句话说，幂律规模法则便是自相似性和分形的数学表达。

由于动物在个体（它们内部网络结构的几何形状和动力学）和物种范围内均遵循幂律规模法则，它们和我们都是自相似性分形的生动体现。

根据里氏震级类推，理查森的比例要从1人死亡的0级开始（针对人类战争规律的研究，模型为近代数据准确的战争），以两次世界大战的接近8级结束（8级代表数亿人死亡）。

在此之间，造成10人死亡的小型骚乱将是1级，100名战士死亡的小规模战斗是2级，以此类推。

显然，很少有战争能够达到7级，大多数冲突都是0级或1级。

当他按照对数比例绘制一定规模的致命争吵的数量与它们的数量级的关系时，便发现了一条近似直线，就像我们在绘制代谢率等生理学数量与动物体重的比例时一样。

因此，战争的频数分配遵循简单的幂律规模法则，表明冲突是近似自相似的。

这一不同寻常的结果使得我们得出惊人的理论——从粗粒度的意义上说，大型战争只不过是小型冲突按比例扩大的版本，正如大象是老鼠按比例扩大的版本一样。

因此，战争和冲突异常复杂的背后似乎就是控制所有比例的普遍动力学。

最近的研究成果也从最近的战争、恐怖主义袭击，甚至网络袭击中证实了上述发现。

目前尚没有一种普遍性理论能够用来理解这些规律，尽管它们很可能反映了国家经济、社会行为、竞争力的分形网络特征。

无论如何，任何最终的战争理论都需要考虑以上结论。

最后，这就引出了讲述理查森故事的关键点。他把冲突幂律规模法则视作与战争相关的其他系统性规律的一部分，希望借此发现支配人类暴力的一般性规律。

为了形成一个理论，他假定两个邻国之间爆发战争的可能性与两国边界线的长度成比例。为了检验自己的理论，他将注意力集中到如何测量两国边界线的长度这一问题上，并因此偶然发现了分形。

为了验证自己的观点，他开始着手搜集边界线长度的数据，并惊讶地发现已经发布的数据存在大量差异。

例如，他得知西班牙和葡萄牙之间边界线的长度有时被引述为987千米，有时被引述为1214千米。

同样，荷兰与比利时之间的边界线长度有时是380千米，有时却是449千米。

人们很难相信如此巨大的差异是由测量的失误导致的。当时，测绘已经是一门高度发达、公认的准确的科学。

例如，19世纪末，人们所知的珠穆朗玛峰的高度仅有几英尺的偏差。

因此，边界线长度相差数百千米就很奇怪了。很明显，其中一定存在着其他原因。

在理查森进行实证研究之前，测量长度的方法完全被视作是理所当然的。这看上去很简单，人们很难发现哪里出错。

接下来，让我们分析一下测量长度的过程。假设你想要粗略估计起居室的长度。

你可以直接沿直线放置1米长的米尺，并计算两面墙之间共放置了多少次米尺。

你发现，米尺放置了6次，因此可以得出结论，起居室的长度大约为6米。

不久后，你发现自己需要一个更加精确的预测值，便使用细粒度的10厘米尺子来测量。仔细地在两端之间放置之后，你发现共放置了63次，于是得出更加精确的近似值，即63×10厘米，结果为630厘米，即6.3米。

很明显，结果取决于你想要的答案的精度，你可以用更加精确的度量工具重复这一过程。

如果你要的结果需要精确到毫米，你或许会发现这一长度为6.289米。

事实上，我们不会端到端地放置尺子，但为了方便，会使用适当的长卷尺或其他测量设备，把我们从这一乏味的过程中解放出来，但原则依然是一样的：卷尺或其他测量工具只是一系列给定标准长度的短尺（如1米长或10厘米长的尺子）“缝合”在一起得到的。

在我们测量的过程中，不管测量的是什么，有一点是明确无误的，那就是随着测量精度的提高，测量结果会越发接近准确数值，即起居室的实际长度。

在上述例子中，随着精度的提高，它的长度值从6米到6.3米再到6.289米。