第101夜 比值的魅力（1 / 2）

弗劳德引入的规模缩放方**现在已经成为科学和工程学工具箱中强大、复杂的组成部分，而且已经被广泛应用于多个领域。

直至20世纪，它才正式成为一项通用技术，著名的数学物理学家瑞利勋爵在《自然》（Nature）杂志上发表了一篇题为《相似法则》的令人兴奋、颇具影响力的论文。

他着重强调的是特殊数值在一切物理系统中扮演的主要角色，这些数值都具有无量纲的性质。

它们是一系列变量的集合，如弗劳德数，它的数值无论用什么单位制来衡量都是相同的。

请允许我详细解释一下。人们习惯在日常生活中测量的典型数量，如长度、时间和压力等，都取决于用来衡量它们的单位，如英尺、秒、磅、每平方英寸的磅数等。

然而，同样的数量可以用不同的单位来衡量。例如，从纽约到洛杉矶的距离为3210英里，但同样也可以被表述为5871千米。尽管数字不同，但它们表达的是同一件事物。

与之相似，伦敦和曼彻斯特之间的距离可以被表述为278英里或456千米。

然而，纽约到洛杉矶的距离与伦敦到曼彻斯特的距离之间的比值（14.89）却是相同的（无论是3210英里除以278英里，还是5871千米除以456千米），无论我们使用的是什么单位。

这便是一个无量纲数的简单例子：它是一个纯数字，不会因衡量它的量纲的不同而发生变化。这一比例不变性表达了其所代表的数量的绝对性，对人类所选择的单位和量纲的依赖性被消除了。

专门的单位是人类的便捷发明，用于在标准化语言中沟通度量，尤其是在建筑业、商业及商品和服务交换中。

的确，标准度量的出现标志着文明发展和城市崛起的重要阶段，因为它们在发展令人信赖的、受制于法治的政治结构的过程中扮演了重要角色。

或许，最著名的无量纲数便是圆周率（π），即圆的周长与直径的比值。它没有单位，因为它是两个长度的比值，所有圆的圆周率都是相同的，无论其是大是小。

因此，π也就成了圆的共同特征。

这一“普遍性”的概念是重力加速度被囊括在弗劳德数的定义中的原因，即使它在从模型船只到真实船只的规模缩放中没有明确的角色。

物体运动速度的平方与物体长度的比值并不是无量纲的，依赖所使用的单位。但如果再除以重力，它就成了无量纲数，具有比例不变性（流体力学中表征流体惯性力和重力相对大小的一个无量纲参敦，记为Fr。它表示惯性力和重力量级的比，即：Fr=U2/gL,式中U为物体运动速度，g为重力加速度；L为物体的特征长度。）。

那么，为什么会选择重力加速度，而不是其他加速度呢？因为重力无所不在，限制着地球上的所有运动（力学意义为水流的惯性力和重力两种作用的对比关系：Fr1时，惯性力对水流起主导作用，水流为急流；Fr1时，重力起主导作用，水流为缓流；Fr=1时，重力、惯性力作用相等，水流为临界流）。

这在我们走路和跑步时表现得十分明显，我们不得不持续对抗重力，在每一步向前的过程中都要抬起我们的双腿，尤其是在登山时。

重力在船只运动中的作用并不明显，因为水的浮力会抵消重力。